2017年中考数学必备知识点 阴影部分面积的计算

来源：天津师大家教中心 日期：2017-1-6

题型二　阴影部分面积计算

针对演练

1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，将Rt△ABC绕点A按逆时针方向旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为︵(BD)，则图中阴影部分的面积是(　　)

A. 6(π)  B. 3(π)  C. 1＋6(π)  D. 1

第1题图

第2题图

2. 如图，在半径为2 cm的⊙O中，点C、点D是︵(AB)的三等分点，点E是直径AB的延长线上一点，连接CE、DE，则图中阴影部分的面积是(　　)

A.  cm²  B. 3(2π) cm²  C. 3(2π)－ cm²  D. 3(2π)＋ cm²

3. 如图，正方形ABCD的面积为12，点M是AB的中点，连接AC、DM、CM，则图中阴影部分的面积是(　　)

A. 6   B. 4.8  C. 4  D. 3

第3题图

第4题图

4. (2016桂林)如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA，ED长为半径画︵(AF)和︵(DF)，连接AD，则图中阴影部分面积是(　　)

A. π   B.   C. 3＋π   D. 8－π

5. 如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为10和6时，则阴影部分的面积为________．

第5题图

第6题图

6. (2015赤峰)如图，平行四边形ABCD中，AB＝AC＝4，AB⊥AC，O是对角线的交点，若⊙O过A、C两点，则图中阴影部分的面积之和为________．

7. (2015武威)如图，半圆O的直径AE＝4，点B，C，D均在半圆上，若AB＝BC，CD＝DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为________．

第7题图

第8题图

8. 如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC，AD，CE的中点，且S_△ABC＝4 cm²，则阴影部分的面积为________．

9. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点，已知扇形EAD和扇形FBD的圆心分别为点A、点B，且AC＝2，则图中阴影部分的面积为________(结果保留π)．

第9题图

第10题图

 

 

10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝1，把该矩形绕点A顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是________．

11. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝2，则图中阴影部分的面积为________．

第11题图

第12题图

12. 如图，在矩形ABCD中，点O在BC边上，OB＝2OC＝2，以O为圆心，OB的长为半径画弧，这条弧恰好经过点D，则图中阴影部分的面积为________．

13. 如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形EBF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是________．

第13题图

第14题图

14. 如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S_△APD＝16 cm²，S_△BQC＝25 cm²，则图中阴影部分的面积为________cm².

15. 如图，正方形ABCD的边长为1，分别以点A、D为圆心，1为半径画弧BD、AC，两弧相交于点F，则图中阴影部分的面积为________．

第15题图

第16题图

第17题图

16. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB₁E，则△AB₁E与四边形AECD重叠部分的面积是________．

17. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是________ cm².

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

1．B　【解析】在Rt△ABC中，∵AC＝BC＝，∴AB＝＝2，∴S_阴影＝S_扇形DAB＝360(30π×22)＝3( π).

第2题解图

2．B　【解析】如解图，连接OC、OD、CD，∵点C、点D是︵(AB)的三等分点，∴∠DOB＝∠COD＝60°，又∵CO＝OD，∴CO＝OD＝CD，∴∠DOB＝∠CDO＝60°，∴CD∥AB，∴S_△CED＝S_△COD，∴S_阴影＝S_扇形COD＝360(60π×22)＝3(2π) cm².

3．C　【解析】如解图，设DM与AC交于点E，∵四边形ABCD是正方形，∴AM∥CD，AB＝CD，∴△AME∽△CDE，∵点M是AB的中点，∴CD(AM)＝2(1)，∴CE(AE)＝DE(EM)＝CD(AM)＝2(1)，∵S_{正方形ABCD}＝12，∴S_△ABC＝2(1)S_{正方形ABCD}＝6，∴S_△ACM＝2(1)S_△ABC＝3，∴S_△AEM＝3(1)S_△ACM＝1，S_△CEM＝3(2)S_△ACM＝2，∴S_△AED＝2S_△AEM＝2，∴S_阴影＝S_△CEM＋S_△AED＝2＋2＝4，故选C.

第3题解图

第4题解图

 

 

4．D　【解析】如解图，过点D作DH⊥AE于点H，∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，∴AB＝＝，由旋转的性质可知，OF＝OA＝3，OE＝OB＝2，DE＝EF＝AB＝，∴AE＝OA＋OE＝5，易证△DHE≌△BOA，∴DH＝OB＝2，∴S_阴影＝S_△ADE＋S_△EOF＋S_扇形AOF－S_扇形DEF＝2(1)AE·DH＋2(1)OE·OF＋360(90π×OA2)－360(90π×DE2)＝2(1)×5×2＋2(1)×2×3＋360(90×π×32)－360(13）2)＝8－π.

5．15　【解析】∵菱形的两条对角线的长分别为10和6，∴菱形的面积＝2(1)×10×6＝30，∵点O是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积＝2(1)×30＝15.

第6题解图

6．4　【解析】如解图，设BD与⊙O交于点E和F两点．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵⊙O过A，C两点，∴扇形AOE与扇形FOC关于点O成中心对称，∴S_扇形AOE＝S_扇形FOC，∴S_阴影＝S_△AOB＝2(1)×2(1)AC·AB＝2(1)×2(1)×4×4＝4.

7．π　【解析】如解图，连接OC，在半圆O中，AB＝BC，CD＝DE，∴︵(AB)＝︵(BC)，︵(CD)＝︵(DE)，∴∠AOB＝∠BOC，∠COD＝∠DOE，

∴S_阴影＝S_扇形OAB＋S_扇形ODE＝2(1)S_扇形AOC＋2(1)S_扇形COE＝2(1)S_半圆AOE＝2(1)×2(π×22)＝π，∴阴影部分的面积为π.

第7题解图

 

8．1 cm²　【解析】∵点E是AD的中点，∴S_△ABE＝2(1)S_△ABD，S_△ACE＝2(1)S_△ADC，∴S_△ABE＋S_△ACE＝2(1)S_△ABC＝2(1)×4＝2 cm²，∴S_△BCE＝2(1)S_△ABC＝2(1)×4＝2 cm²，∵点F是CE的中点，∴S_△BEF＝2(1)S_△BCE＝2(1)×2＝1 cm².

9．2－2(π)　【解析】∵BC＝AC＝2，∠C＝90°，∴AB＝2，∵点D为AB的中点，∴AD＝BD＝，∴S_阴影＝S_△ABC－S_扇形EAD－S_扇形FBD＝2(1)×2×2－360(2）2)×2＝2－2(π).

10.2(3)－4(π)　【解析】根据已知可得∠ABC＝90°，∵在Rt△ABC中，tan∠CAB＝3(1)＝3(3)，∠CAB＝30°，∴∠BAB′＝30°，∴S_阴影＝S_△AB′C′－S_扇形BAB′＝2(1)AB′·B′C′－360(3）2)＝2(1)××1－4(π)＝2(3)－4(π).

11．18　【解析】∵MC＝6，NC＝2，∠C＝90°，∴S_△CMN＝6，由折叠性质得△CMN≌△DMN，∴△CMN与△DMN对应高相等，∵MN∥AB，∴△CMN∽△CAB且相似比为1∶2，∴两者的面积比为1∶4，从而得S_△CMN∶S_{四边形MABN}＝1∶3，∴S_阴影＝S_{四边形MABN}＝18.

第12题解图

12.3(2π)－　【解析】设弧与AD交于点E，如解图，连接OE，过点O作OP⊥AD于点P，由题意得，OB＝OE＝OD，∴OD＝2OC＝2，∴∠ODC＝30°，则∠ODE＝60°，∴△ODE为等边三角形，∴S_△ODE＝2(1)×2×＝，则S_阴影＝S_扇形EOD－S_△ODE＝360(60×π×22)－＝3(2π)－.

第13题解图

13.3(2π)－　【解析】如解图，连接BD，设BE交 AD于点G，BF交CD于点H，∵在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，∴BD＝BC＝2，由题意知扇形圆心角为60°，∴∠DBG＝∠CBH，∠GDB＝∠C，∴△DGB≌△CHB，∴S_阴影＝S_扇形EBF－ S_△DBC＝360(60×π×22)－2(1)×2×＝3(2π)－.

第14题解图

14．41　【解析】如解图，连接EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴S_△EFC＝S_△BCF，∴S_△EFQ＝S_△BCQ，同理，S_△EFD＝S_△ADF，∴S_△EFP＝S_△ADP，∵S_△APD＝16 cm²，S_△BQC＝25 cm²，∴S_阴影＝S_△EFP＋S_△EFQ＝16＋25＝41 cm².

15.2(3)－6(π)　【解析】如解图，过点F作FE⊥AD于点E，连接AF、DF，∵正方形ABCD的边长为1，∴AE＝2(1)AD＝2(1)AF＝2(1)，

∴∠AFE＝∠BAF＝30°，∴∠FAE＝60°，EF＝2(3)，∴△ADF为等边三角形，∴∠ADF＝60°，∴S_弓形AF＝S_扇形ADF－S_△ADF＝360(60π×12)－2(1)×1×2(3)＝6(π)－4(3)，∴S_阴影＝2(S_扇形BAF－S_弓形AF)＝2×(360(30π×12)－6(π)＋4(3))＝2(3)－6(π).

第15题解图

 

16．2－2　【解析】如解图，设CD与AB₁交于点O，∵在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，∴AE＝BE＝，由折叠性质易得△ABB₁为等腰直角三角形，∴S_△ABB1＝2(1)BA·AB₁＝2，S△_AB1E＝1，CB₁＝2BE－BC＝2－2，∵AB∥CD，∴∠OCB₁＝∠B＝45°，又∵∠B₁＝∠B＝45°，∴CO＝OB₁＝2－，∴S△_COB1＝2(1)CO·OB₁＝3－2，∴S_重叠＝S_△AB1E－S_△COB1＝1－(3－2)＝2－2.

第16题解图

第17题解图

 

 

17．32　【解析】如解图，连接BD，EF，设BF与ED相交于点G.∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD＝6 cm，AD＝BC＝8 cm，∴S_△ABD＝S_△BCD＝2(1)S_矩形ABCD＝2(1)×6×8＝24 cm²，∵E、F分别是BC、CD的中点，∴EF∥BD，EF＝2(1)BD，∴△GEF∽△GDB，∴DG＝2GE，∵S_△BDE＝2(1)S_△BCD，∴S_△BDG＝3(2)S_△BDE＝3(1)S_△BCD＝3(1)×24＝8 cm²，∴S_阴影＝S_△ABD＋S_△BDG＝24＋8＝32 cm².

 

 

 

编辑者：天津家教中心（www.tsdjjw.com)