来源：天津师大家教中心 日期：2017-1-6

BC、题型五　圆的综合题

针对演练

1. 如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，过圆心O的直线垂直AB于点D，交⊙O于点C和点E，连接AC、OB，cos∠ACB＝3(1)，延长OE到点F，使EF＝2OE.

(1)求证：∠BOE＝∠ACB;

(2)求⊙O的半径；

(3)求证：BF是⊙O的切线．

第1题图

 

 

 

 

 

 

 

 

2. 如图，AB为⊙O的直径，点C为圆外一点，连接AC、 BC，分别与⊙O相交于点D、点E，且，过点D作DF⊥BC于点F，连接BD、DE、AE.

(1)求证：DF是⊙O的切线；

(2)试判断△DEC的形状，并说明理由；

(3)若⊙O的半径为5，AC＝12，求sin∠EAB的值．

第2题图

 

 

 

 

 

 

3. (2016长沙9分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.

(1)求∠CDE的度数；

(2)求证：DF是⊙O的切线；

(3)若AC＝2DE，求tan∠ABD的值．

第3题图

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. (2016德州10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E作直线l∥BC.

(1)判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE＝EF;

(3)在(2)的条件下，若DE＝4，DF＝3，求AF的长．

 

第4题图

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    5. (2015永州)如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD.

(1)求证：BE＝CE；

(2)试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；

(3)若BC＝8，AD＝10，求CD的长．

第5题图

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. (2015省卷24，9分)⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG，CP，PB.

(1)如图①，若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；

(2)如图②，在DG上取一点K，使DK＝DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；

(3)如图③，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB.

第6题图

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     7. (2017原创)如图，AB切⊙O于点B，AD交⊙O于点C和点D，点E为的中点，连接OE交CD于点F，连接BE交CD于点G.

(1)求证：AB＝AG；

(2)若DG＝DE，求证：GB²＝GC·GA；

(3)在(2)的条件下，若tanD＝4(3)，EG＝，求⊙O的半径．

第7题图

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. (2015达州)在△ABC的外接圆⊙O中，△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D，F为上一点，且，连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E.

(1)判断DB与DA的数量关系，并说明理由；

(2)求证：△BCD≌△AFD；

(3)若∠ACM＝120°，⊙O的半径为5，DC＝6，求DE的长．

第8题图

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    9. 如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为点D.

(1)求证：△ACD∽△ABC；

(2)求证：∠PCA＝∠ABC；

(3)过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CG于点F，连接BE，若sinP＝5(3)，CF＝5，求BE的长．

第9题图

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. (2016大庆9分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH.

(1)求证：MH为⊙O的切线；

(2)若MH＝2(3)，tan∠ABC＝4(3)，求⊙O的半径；

(3)在(2)的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度．

第10题图

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     11. 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC＝∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G.

(1)判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)求证：AG²＝AF·AB；

(3)若⊙O的直径为10，AC＝2，AB＝4，求△AFG的面积．

第11题图

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12. (2016鄂州10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O.

(1)求证：AB是⊙O的切线；

(2)已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD＝2(1)，求AC(AE)的值；

(3)在(2)的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．

第12题图

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

1．(1)证明：如解图，连接OA，

第1题解图

∵CE⊥AB，

∴AD＝BD＝2，，

∴∠ACE＝∠BCE，∠AOE＝∠BOE，

又∵∠AOB＝2∠ACB，

∴∠BOE＝∠ACB；

(2)解：∵cos∠ACB＝3(1)，

∴cos∠BOD＝3(1)，

在Rt△BOD中，设OD＝x，则OB＝3x，

∵OD²＋BD²＝OB²，

∴x²＋2²＝(3x)²，解得x＝2(2)，

∴OB＝3x＝2(2)，

即⊙O的半径为2(2)；

(3)证明：∵FE＝2OE，

∴OF＝3OE＝2(2)，

∴OF(OB)＝3(1)，

∵OB(OD)＝3(1)，

∴OF(OB)＝OB(OD)，

∵∠BOF＝∠DOB，

∴△OBF∽△ODB，

∴∠OBF＝∠ODB＝90°，即OB⊥BF，

∵OB是⊙O的半径，

∴BF是⊙O的切线．

2．(1)证明：如解图，连接DO，交AE于点G，则DO＝BO，

第2题解图

∴∠ABD＝∠ODB，

∵，

∴∠ABD＝∠EBD，

∴∠ODB＝∠EBD，

∴DO∥BC，

∴∠ODF＝∠CFD，

∵DF⊥BC，

∴∠CFD＝90°，

∴∠ODF＝90°，即OD⊥DF，

又∵OD为⊙O的半径，

∴DF是⊙O的切线；

(2)解：△DEC是等腰三角形，理由如下：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝∠CDB＝90°，

又∵BD＝BD，∠ABD＝∠EBD，

∴△ABD≌△CBD(ASA)，

∴AD＝CD.

∵，

∴AD＝DE，

∴CD＝DE，

∴△DEC是等腰三角形；

(3)解：由(2)可知AD＝2(1)AC＝6，

∵，

∴OD⊥AE，∠ABD＝∠DAE，

∴sin∠DAE＝AD(DG).

在Rt△ADB中，sin∠ABD＝AB(AD)＝10(6)，

∴6(DG)＝10(6)，

∴DG＝3.6，

∴OG＝OD－DG＝1.4，

∴在Rt△AGO中，sin∠EAB＝OA(OG)＝5(1.4)＝25(7).

3．(1)解：∵AC为⊙O的直径，

∴∠ADC＝90°，

∴∠CDE＝90°；………………………………………………(2分)

第3题解图

(2)证明：如解图，连接OD，

∵∠CDE＝90°，F为CE中点，

∴DF＝2(1)CE＝CF，

∴∠FDC＝∠FCD.

又∵OD＝OC，

∴∠ODC＝∠OCD，

∴∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠FCD，

∴∠ODF＝∠OCF，

∵EC⊥AC，

∴∠OCF＝90°，

∴∠ODF＝90°，即OD⊥DF，

又∵OD为⊙O的半径，

∴DF为⊙O的切线；…………………………………………(5分)

(3)解：在△ACD与△ECA中，

∵∠ADC＝∠ACE＝90°，∠EAC＝∠CAD，

∴△ACD∽△AEC，

∴AE(AC)＝AC(AD)

∴AC²＝AD·AE，

又∵AC＝2DE，

∴20DE²＝(AE－DE)·AE

∴AE＝5DE，

∴AD＝4DE，

∵在Rt△ACD中，AC²＝AD²＋CD²，

∴CD＝2DE，

又∵在⊙O中，∠ABD＝∠ACD，

∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝CD(AD)＝2. …………………………(9分)

4．(1)解：直线l与⊙O相切．理由如下：

如解图，连接OE、OB、OC.

第4题解图

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE＝∠CAE，

∴，

∴∠BOE＝∠COE，

又∵OB＝OC，

∴OE⊥BC，

∵l∥BC，

∴OE⊥l，

又∵OE为⊙O的半径，

∴直线l与⊙O相切；…………………………………………(3分)

(2)证明：∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF＝∠CBF，

又∵∠CBE＝∠CAE＝∠BAE，

∴∠CBE＋∠CBF＝∠BAE＋∠ABF.

又∵∠EBF＝∠CBE＋∠CBF，∠EFB＝∠BAE＋∠ABF，

∴∠EBF＝∠EFB，

∴BE＝EF；……………………………………………………(6分)

(3)解：∵BE＝EF，DE＝4，DF＝3，

∴BE＝EF＝DE＋DF＝7，

∵，

∴∠DBE＝∠BAE，

∵∠DEB＝∠BEA，

∴△BED∽△AEB，

∴BE(DE)＝AE(BE)，即7(4)＝AE(7)，

解得AE＝4(49)，…………………………………………………(9分)

∴AF＝AE－EF＝4(49)－7＝4(21).………………………………(10分)

5．(1)证明：∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD＝∠ACD＝90°，

在Rt△ABD和Rt△ACD中，

AD＝AD(AB＝AC)，

∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵AB＝AC，

∴AD垂直平分BC，

∴BE＝CE；

(2)解：四边形BFCD是菱形．理由如下：

∵AD是⊙O的直径，AB＝AC，

∴AD⊥BC，BE＝CE，

∵CF∥BD，

∴∠FCE＝∠DBE，

在△BED和△CEF中，

∠BED＝∠CEF＝90°(BE＝CE)，

∴△BED≌△CEF(ASA)，

∴BD＝CF，

∴四边形BFCD是平行四边形，

∵∠BAD＝∠CAD，

∴BD＝CD，

∴四边形BFCD是菱形；

(3)解：∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，BE＝CE，

∴∠ECD＝∠CAE，

∵∠AEC＝∠DEC＝90°，

∴Rt△CDE∽Rt△ACE，

∴CE(DE)＝AE(CE)，

∴CE²＝DE·AE，

设DE＝x，则AE＝AD－DE＝10－x，

∵BC＝8，

∴CE＝2(1)BC＝4，

∴4²＝x(10－x)，解得x＝2或x＝8(舍去)，

在Rt△CED中，

CD＝＝＝2.

6．(1)解：∵点P为的中点，PG为⊙O的直径，

∴BP＝PC，PG⊥BC，CD＝BD，

∴∠ODB＝90°，

∵D为OP的中点，

∴OD＝2(1)OP＝2(1)OB，

∴∠OBD＝30°，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠BAC＝60°；………………………………………………(3分)

(2)证明：由(1)知，CD＝BD，

在△PDB和△KDC中，

DP＝DK(∠BDP＝∠CDK)，

∴△PDB≌△KDC(SAS)，

∴BP＝CK，∠BPO＝∠CKD，

∵∠AOG＝∠BOP，

∴AG＝BP，

∴AG＝CK，

∵OP＝OB，

∴∠OBP＝∠BPO，

又∵∠G＝∠OBP，

∴∠G＝∠BPO＝∠CKD，

∴AG∥CK，

∴四边形AGKC是平行四边形；……………………………(6分)

(3)证明：∵CE＝PE，CD＝BD，

∴DE∥PB，即DH∥PB，

∵∠G＝∠BPO，

∴PB∥AG，∴DH∥AG，

∴∠OAG＝∠OHD，∠G＝∠ODH.

∵OA＝OG，∴∠OAG＝∠G，

∴∠ODH＝∠OHD，∴OD＝OH，

在△OBD和△OPH中，

OB＝OP(∠DOB＝∠HOP)，

∴△OBD≌△OPH(SAS)，

∴∠OHP＝∠ODB＝90°，

∴PH⊥AB. ……………………………………………………(9分)

7．(1)证明：如解图，连接OB，

第7题解图

∵AB为⊙O的切线，

∴OB⊥AB，

∴∠ABG＋∠OBG＝90°，

∵点E为的中点，

∴OE⊥CD，

∴∠OEG＋∠FGE＝90°，

又∵OB＝OE，

∴∠OBG＝∠OEG，

∴∠ABG＝∠FGE，

∵∠BGA＝∠FGE，

∴∠ABG＝∠BGA，

∴AB＝AG；

(2)证明：如解图，连接BC，

∵DG＝DE，

∴∠DGE＝∠DEG，

由(1)得∠ABG＝∠BGA，

又∵∠BGA＝∠DGE，

∴∠A＝∠GDE，

∵∠GBC＝∠GDE，

∴∠GBC＝∠A，

∵∠BGC＝∠AGB，

∴△GBC∽△GAB，

∴GA(GB)＝GB(GC)，

∴GB²＝GC·GA；

(3)解：如解图，连接OD，

∵在Rt△DEF中，tan∠EDF＝DF(EF)＝4(3)，

∴设EF＝3x，则DF＝4x，由勾股定理得DE＝5x，

∵DG＝DE，

∴DG＝5x，

∴GF＝DG－DF＝x.

在Rt△EFG中，由勾股定理得GF²＋EF²＝EG²，

即x²＋(3x)²＝()²，解得x＝1，

设⊙O半径为r，在Rt△ODF中，OD＝r，OF＝r－3，DF＝4，

由勾股定理得OF²＋FD²＝OD²，即(r－3)²＋4²＝r²，

解得r＝6(25)，

∴⊙O的半径为6(25).

8．(1)解：DB＝DA.

理由如下：∵CD平分∠ACM，

∴∠MCD＝∠ACD，

∵∠ACD和∠ABD都是所对的圆周角，

∴∠ACD＝∠ABD，

∴∠MCD＝∠ABD，

又∵∠MCD＝∠BAD，

∴∠BAD＝∠ABD，

∴DB＝DA；

 (2)证明：如解图，连接AF，

第8题解图

∵AD＝BD，

∴，

∵，

∴，

∴AF＝BC，DF＝DC，

在△BCD和△AFD中，

DC＝DF(BC＝AF)，

∴△BCD≌△AFD(SSS)；

(3)解：∵∠ACM＝120°，

∴∠MCD＝∠ACD＝60°，

∴∠ABD＝∠BAD＝∠BDA＝60°，

∴△ABD是等边三角形，

如解图，连接DO并延长与AB交于点G，则∠ADO＝30°，

过点O作OH⊥AD于点H，则AD＝2DH＝2OD·cos30°＝5，

∵∠ADF＋∠DAF＝∠AFE＝∠ACD＝60°，∠ADE＋∠E＝∠BAD＝60°，

∴∠DAF＝∠E，

∵∠ADF＝∠EDA，

∴△ADF∽△EDA，

∴DE(DA)＝DA(DF)，

∴DE＝DF(DA2)，

∵DF＝DC＝6，DA＝5，

∴DE＝2(25).

9．(1)证明：∵AB是⊙O直径，

∴∠ACB＝90°，

∵CG⊥AB，

∴∠ADC＝∠ACB＝90°，

∵∠CAD＝∠BAC，

∴△ACD∽△ABC；

 (2)证明：如解图，连接OC.

第9题解图

∵PC切⊙O于点C，

∴OC⊥PC，

∴∠PCO＝90°，

∴∠PCA＋∠OCA＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ABC＋∠OAC＝90°，

∵OC＝OA，

∴∠OCA＝∠OAC，

∴∠PCA＝∠ABC；

(3)解：∵AE∥PC，

∴∠PCA＝∠CAF，

∵AB⊥CG，

∴，

∴∠ABC＝∠ACF，

∵∠PCA＝∠ABC，

∴∠CAF＝∠ABC，

∴∠ACF＝∠CAF，

∴FA＝FC，

∵CF＝5，

∴AF＝5，

∵AE∥PC，

∴∠FAD＝∠P，

∵sinP＝5(3)，

∴sin∠FAD＝5(3)，

∴FD＝3，AD＝4，CD＝8，

在Rt△COD中，设CO＝r，则有r²＝(r－4)²＋8²，

∴r＝10，

∴AB＝2r＝20，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°，

∴sin∠EAB＝5(3)，

∴AB(BE)＝5(3)，

∴20(BE)＝5(3)，

∴BE＝12.

10．(1)证明：如解图①，连接OM、CM，

第10题解图①

∵BC为⊙O的直径，

∴∠AMC＝∠BMC＝90°，

∵H是AC的中点，

∴HC＝HM＝2(1)AC，

∴∠HMC＝∠HCM，

∵OM＝OC，

∴∠OMC＝∠OCM，

∴∠OMH＝∠OCH，

∵∠ACB＝90°＝∠OCH，

∴∠OMH＝90°，即OM⊥MH，

又∵OM为⊙O的半径，

∴MH为⊙O的切线；…………………………………………(3分)

(2)解：∵MH＝2(3)，

∴AC＝2MH＝3，

在Rt△ABC中，tan∠ABC＝BC(AC)＝4(3)，

∴BC＝4，

故⊙O的半径为2；……………………………………………(5分)

(3)解：如解图②，过点D作DP⊥AC于点P，连接ON，

第10题解图②

则DP＝BC＝4，BD＝PC，

设DB＝DN＝x，则AP＝3－x，

∵AN＝AC＝3，

∴AD＝x＋3.

在Rt△ADP中，由勾股定理得，

(x＋3)²－(3－x)²＝4²，

解得x＝3(4)，

∴DN＝BD＝3(4)，AD＝3(13)，

∵QN⊥BC，AC⊥BC，BD⊥BC，

∴AC∥NQ∥DB，

∴AD(DN)＝BC(BE)，即3(13)＝4(BE)，

∴BE＝13(16)，

∴OE＝OB－BE＝13(10)，

∴EN＝＝13(24)，

∴NQ＝2EN＝13(48).……………………………………………(9分)

11．(1)解：直线PA与⊙O相切．理由如下：

∵AD为⊙O的直径， CG⊥AD ，

∴AD垂直且平分CG，

∴AC＝AG，

∴∠ACG＝∠AGC，

∵∠AGC＝∠B，∠PAC＝∠B，

∴∠PAC＝∠ACG，

∴PA∥CG，

∵CG⊥AD，

∴PA⊥AD，

又∵AD为⊙O的直径

∴直线PA是⊙O的切线；

【一题多解】如解图①，连接DC，

第11题解图①

则∠B＝∠ADC，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD＝90°，

∴∠ADC＋∠DAC＝90°.

又∵∠PAC＝∠B，

∴∠ADC＝∠PAC，

∴∠PAC＋∠DAC＝90°，即DA⊥PA，

∴PA是⊙O的切线．

(2)证明：由垂径定理得，

∴∠ACG＝∠B，

∵∠CAB＝∠FAC，

∴△ABC∽△ACF，

∴AF(AC)＝AC(AB)，

∴AC²＝AF·AB，

又∵AC＝AG，

∴AG²＝AF·AB；

【一题多解】此题还可以通过连接BG，证明△GAB∽△FAG，从而证得AG²＝AF·AB.

(3)解：由(2)得AG²＝AF·AB，

∵AG＝AC＝2，AB＝4，

∴(2)²＝4AF，

∴AF＝，

如解图②，连接BD，则∠ABD＝90°，

第11题解图②

由勾股定理得BD＝＝＝2，

∵∠AEF＝∠ABD＝90°，∠EAF＝∠BAD，

∴△AEF∽△ABD，

∴AB(AE)＝AD(AF)＝BD(EF)，

∴5(AE)＝10(5)＝5(EF)，

∴AE＝2，EF＝1，

在Rt△ACE中，由勾股定理，得CE²＝AC²－AE²，

∴CE＝ ＝4，

∵CE＝EG，

∴EG＝4，

∴FG＝EG－EF＝ 4－1＝3，

∴.

12．(1)证明：如解图，过点O作OF⊥AB于点F，

第12题解图

∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，垂足为点F，

∴OF＝OC，即OF为⊙O的半径，

∴AB是⊙O的切线；…………………………………………(3分)

 (2)解：如解图，过点D作DP⊥AC交AC延长线于点P，

∵∠ACB＝90°，DP⊥AC，

∴CO∥DP，

∵OC＝OD，

∴∠OCD＝∠ODC＝∠CDP，

∵tan∠CDO＝2(1)，

∴tan∠OCD＝2(1).

连接DQ，设DQ＝a，则CD＝2a，CQ＝a，

∴CO＝OD＝OE＝2(5a)，

在Rt△CPD中，设CP＝b，则DP＝2b，CD＝b，

∴b＝5(5)a，则PC＝5(5)a ，PD＝5(5)a，

∵CO∥DP，∴△ACO∽△APD，

∴PD(OC)＝AP(AC)＝AD(AO)，即a(5)＝5()＝＋AO(a)，

解得AC＝3(5)a，AO＝6(5)a，

∴AE＝AO－OE＝6(5)a－2(5a)＝3(5)a，

∴AC(AE)＝5()＝2(1)；……………………………………………(7分)

(3)解：由(2)知AC(AE)＝2(1)，

设AE＝c，则AC＝2c，

在Rt△ACO中，(2c)²＋3²＝(c＋3)²，

解得c＝2，

∴AF＝AC＝2c＝4，

在△BFO和△BCA中，

∠BFO＝∠BCA(∠B＝∠B)，∴△BFO∽△BCA，

∴BC(BF)＝CA(FO)＝AB(BO)，

设BF＝x，BO＝y，

∴3＋y(x)＝4(3)＝4＋x(y) ，解得：x＝7(72)，y＝7(75)，

∴AB＝AF＋BF＝4＋7(72)＝7(100). ……………………………(10分)

 

编辑者：天津家教中心（www.tsdjjw.com)